Tipos de Errores

Actividad 3: Influencia de Errores.

Muchas veces se nos presentan distintas posturas filosóficas, teorías matemáticas y físicas de cierta forma en la que es fácil entenderlas como si la realidad que percibimos a través de nuestros sentidos fuera una aproximación a un universo platónico y perfecto conformado por sólidos regulares, perfectamente continuos y delicadamente sincronizados con la que debemos conformarnos.

A lo largo del siglo XX ha habido varios momentos en el desarrollo de la física y la matemática que han puesto este punto a debate.

Investiga y debate con tus compañeros como los siguientes temas influyen en tu concepto de Error.

a)    Determinismo y el demonio de Laplace

Pierre-Simon Laplace suponía que todo está compuesto de átomos y que los movimientos de los átomos se rigen por las leyes que Issac Newton descubrió en el siglo 17. Laplace imaginaba un demonio súper inteligente y matemáticamente dotado, que conoce la posición y velocidades de todas las partículas del universo en un momento determinado, junto con todas las leyes de la naturaleza. Afirmó que este demonio podía calcular las posiciones y velocidades de todas las partículas en cualquier momento.

El demonio puede predecir donde el cuerpo iba a estar, y cómo se movería el próximo año a partir de su conocimiento de las posiciones y velocidades de las partículas en el universo hace un millón de años.

¿El determinismo es falso, o el libre albedrío es una ilusión?

El argumento de Laplace depende del hecho de que las leyes de Newton son deterministas. Muchos filósofos han llegado a la conclusión de que el determinismo es incompatible con el libre albedrío. En efecto, si los movimientos de su cuerpo están determinados por lo que pasó hace un millón de años. ¿Cómo puede ser que “dependa de ti” si, por ejemplo, vas a levantar la mano izquierda? Entonces llegan a la conclusión de que o bien el determinismo es falso, o el libre albedrío es una ilusión. Otros filósofos afirman que para tener libre albedrío es suficiente para tener un control deliberado sobre si usted levanta su mano izquierda y que, dicho control es compatible con el determinismo.

El demonio de Laplace calcula la forma en que su cuerpo se moverá mañana a partir de las posiciones de las partículas en el pasado, lo que le priva del libre albedrío.

Se piensa comúnmente que la física actual nos dice que las leyes fundamentales de la mecánica cuántica no son deterministas, pero sólo nos dicen probabilidades. Algunos filósofos piensan que esto resuelve el problema del libre albedrío. Pero es controversial decir que la mecánica cuántica no es determinista, e incluso si sus leyes son probabilísticas, es posible que no permitan el libre albedrío.

¿El libre albedrío existe?

Si no, ¿podemos tener cosas como la justicia o la moral? Podríamos preguntarle al demonio de Laplace, pero podría ser tan incierto, tanto como nosotros.

b)   El principio de incertidumbre de Heissenberg

El principio de incertidumbre nos dice que hay un límite en  la precisión con el cual podemos determinar al mismo tiempo la posición y el momento de una partícula.

La expresión matemática que describe el principio de incertidumbre de Heisenberg es

Si queremos determinar con total precisión la posición:

De la desigualdad para el principio de incertidumbre verificamos

Entonces que

Es decir, que la incertidumbre en el momento es infinita.

c)    Edward N. Lorenz, atractores extraños y la teoría del Caos.

Edward N. Lorenz, atractores extraños y la teoría del Caos

El término Caos se refiere a una interconexión subyacente que se manifiesta en acontecimientos de la vida cotidiana que son aparentemente aleatorios y desordenados. Por eso el  concepto de caos a menudo puede crear en nosotros una idea negativa, una visión de desorden en donde las cosas no funcionan bien, en un mundo en donde lo establecido y lo correcto es precisamente el orden.

Durante mucho tiempo la noción de que en el universo existía un orden total y continuo fue algo innegable, las teorías de Newton veían al mundo como un compuesto de bloques mecánicos en interrelación, partes separadas de la realidad que respondían a una causa-efecto. De hecho nuestra cultura sigue estando impregnada de este mecanicismo y predictibilidad, intentamos y nos obsesionamos por predecir cualquier fenómeno desde una perspectiva reduccionista. Pero es justamente aquí donde surge el nuevo paradigma, al ver a la realidad como un todo en donde cualquier factor, por pequeño que parezca, puede afectar el comportamiento y la evolución de la naturaleza.

Del entendimiento de estos factores y sus relaciones surge la Teoría del Caos, en la cual existen tres componentes esenciales: el control, la creatividad y la sutileza. El control por dominar la naturaleza es imposible desde la perspectiva del caos, pactar con el caos significa no dominarlos sino ser un participante creativo. Más allá de nuestros intentos por controlar y definir la realidad se extiende el infinito reino de la sutileza y la ambigüedad, mediante el cual nos podemos abrir a dimensiones creativas que vuelven más profundas y armoniosas nuestras vidas. 

En este sentido se dice que un sistema visto desde el punto de vista del caos, es decir sistema caótico, es un sistema flexible y no lineal, en donde el azar y lo no predecible juegan un papel fundamental. Un ejemplo de sistema caótico podría ser un río, en donde cada partícula de agua sigue una trayectoria aleatoria e impredecible que sin embargo no rompe con la dinámica establecida en el mismo río.

Podríamos decir entonces que la Teoría del Caos es todo lo anterior y mucho más. Es encontrar el orden en el desorden, y constituye el principal afán de quienes, en los diversos campos de la ciencia, adoptan esta nueva perspectiva. Por ejemplo en la geometría moderna surgen figuras caóticamente raras y bellas como resultado de modelos recursivos que generan comportamientos impredecibles, sin embargo estos conservan un cierto orden. Estas formas son conocidas como fractales.

Hacia 1960, el meteorólogo Edward Lorenz se dedicaba a estudiar el comportamiento de la atmósfera, tratando de encontrar un modelo matemático, un conjunto de ecuaciones, que permitiera predecir a partir de variables sencillas, mediante simulaciones de ordenador, el comportamiento de grandes masas de aire, en definitiva, que permitiera hacer predicciones climatológicas.

Lorenz realizó distintas aproximaciones hasta que consiguió ajustar el modelo a la influencia de tres variables que expresan como cambian a lo largo del tiempo la velocidad y la temperatura del aire. El modelo se concretó en tres ecuaciones matemáticas, bastante simples, conocidas hoy en día como modelo de Lorenz.

Pero, Lorenz recibió una gran sorpresa cuando observó que pequeñas diferencias en los datos de partida (algo apar entemente tan simple como utilizar 3 o 6 decimales) llevaban a grandes diferencias en las predicciones del modelo. De tal forma que cualquier pequeña perturbación, o error, en las condiciones iniciales del sistema puede tener una gran influencia sobre el resultado final.

De tal forma que se hacía muy difícil hacer predicciones climatológicas a largo plazo. Los datos empíricos que proporcionan las estaciones meteorológicas tienen errores inevitables, aunque sólo sea porque hay un número limitado de observatorios incapaces de cubrir todos los puntos de nuestro planeta.

Esto hace que las predicciones se vayan desviando con respecto al comportamiento real del sistema.

Lorenz intentó explicar esta idea mediante un ejemplo hipotético. Sugirió que imaginásemos a un meteorólogo que hubiera conseguido hacer una predicción muy exacta del comportamiento de la atmósfera, mediante cálculos muy precisos y a partir de datos muy exactos. Podría encontrarse una predicción totalmente errónea por no haber tenido en cuenta el aleteo de una mariposa en el otro lado del planeta. Ese simple aleteo podría introducir perturbaciones en el sistema que llevaran a la predicción de una tormenta.

De aquí surgió el nombre de efecto mariposa que, desde entonces, ha dado lugar a muchas variantes y recreaciones.

Se denomina, por tanto, efecto mariposa a la amplificación de errores que pueden aparecer en el comportamiento de un sistema complejo. En definitiva, el efecto mariposa es una de las características del comportamiento de un sistema caótico, en el que las variables cambian de forma compleja y errática, haciendo imposible hacer predicciones más allá de un determinado punto, que recibe el nombre de horizonte de predicciones.

d)   El problema no. 2 de Hilbert y el teorema de incompletitud de Gödel

El segundo problema de Hilbert pretende probar la compatibilidad de los axiomas de la aritmética. Es decir partiendo de ell-os, un número finito de pasos lógicos, nunca puede conducir a resultados contradictorios. El famoso teorema de Gödel, establece que en cualquier sistema simbólico formal es posible construir una proposición que no se puede probar ni refutar  en el mismo sistema.

El teorema de Gödel es equiparable por su importancia a la teoría de la relatividad de Albert Einstein, y es una de las construcciones fundamentales de las matemáticas de todos los tiempos. Gödel utilizó el rigor de las matemáticas para demostrar, sin lugar a dudas, que las matemáticas mismas son incompletas. En su artículo de 1931, Gödel demuestra que en cualquier sistema lógico basado en axiomas y reglas de inferencia, existen enunciados cuya verdad o falsedad no vamos a poder decidir, basándonos en la propia lógica matemática del sistema. Antes de Gödel esto ni siquiera se consideraba, pues lo interesante de un enunciado era poder demostrar que era verdadero o bien era falso. A partir de Gödel aparece una diferencia muy sutil entre verdad/falsedad y demostrabilidad.

El teorema de Gödel tiene que ver con enunciados que hacen referencia a sí mismos. Sócrates afirmaba, en su famosa frase:” Yo sólo sé que no sé nada”. Se contradecía, al afirmar que sólo sabía una cosa y, al mismo tiempo, no sabía nada: hacía referencia a sí mismo y ahí es donde residía su contradicción.

En 1931 Kurt Gödel, un joven matemático austríaco de 25 años, publicó su famoso artículo” Sobre proposiciones formalmente no decidibles en Principia Mathematica y sistemas relacionados” y desmontó, definitivamente, la soberbia estructura montada sobre la lógica matemática, que se suponía completa.

Destrozó el programa planeado por Hilbert, porque demostró que cualquiera de estos sistemas matemáticos precisos (formales) de axiomas y reglas de inferencia (finitos), siempre que sea lo bastante amplio para contener descripciones de proposiciones aritméticas simples y siempre que esté libre de contradicción, debe contener algunos enunciados que no son demostrables ni indemostrables con los medios permitidos dentro del sistema.

De hecho, por sorprendente que parezca, Gödel demostró que el mismo enunciado de la consistencia del propio sistema axiomático debe ser una de esas proposiciones indecidibles.

Gödel nos descubrió que la verdad es una categoría superior a la demostrabilidad, y que su argumento nos da la posibilidad, mediante intuición directa, de ir más allá de las limitaciones de cualquier sistema matemático formalizado.

Penrose utiliza el argumento de Gödel para demostrar el funcionamiento no algorítmico de la mente. El sistema matemático más perfecto que podamos conseguir, con un número finito de axiomas y reglas de inferencia, es incapaz por principio de probar la verdad/falsedad de enunciados que nosotros, desde fuera del sistema, advertimos sin demasiada dificultad.

Un ordenador basado en la programación automática que conocemos, a base de algoritmos matemáticos, tiene una limitación fundamental independiente de que el programa sea mejor o peor o que su memoria y capacidad de cálculo sean de mayor o menor potencia.

Conclusiones:

Antes de leer sobre estos temas, siempre pensé que las matemáticas eran perfectas y exactas, sin errores y que todos los teoremas, axiomas y postulados que las conforman estaban completamente probados por científicos, matemáticos, físicos, filósofos, etc., mismos que no tenían ninguna duda de que las matemáticas estaban, simplemente, libres de cualquier error.

Después de leer sobre los científicos y sus teorías anteriores me doy cuenta de que los errores existen, o al menos, aún no hemos sido capaces de comprender que en realidad no son errores, sino que nuestra mente humana no alcanza a comprender y a demostrar que lo creado por Dios sí es perfecto, y que Él se basó en matemáticas y física para construir el mundo que nos rodea, así que seguramente no se equivocó en absolutamente nada.

Pienso que, a menos que se nos fuera revelada la verdad, no seremos capaces de probar la perfección de las matemáticas, pero que en realidad si son perfectas, libres de errores. Como bien demostró Gödel en su artículo de 1931, en cualquier sistema lógico basado en axiomas y reglas de inferencia, existen enunciados cuya verdad o falsedad no vamos a poder decidir, basándonos en la propia lógica matemática del sistema. Antes de Gödel, esto ni siquiera se consideraba, pues lo interesante de un enunciado era poder demostrar que era verdadero o falso. A partir de Gödel aparece una diferencia entre verdad, falsedad y demostrabailidad.

Gödel descubrió que la verdad es una categoría superior a la demostrabilidad, y que su argumento nos da la posibilidad, mediante intuición directa, de ir más allá de las limitaciones de cualquier sistema matemático formalizado. Penrose utiliza el argumento de Gödel para demostrar el funcionamiento no algorítmico de la mente. El sistema matemático más perfecto que podamos conseguir, con un número finito de axiomas y reglas de inferencia, es incapaz por principio de probar la verdad/falsedad de enunciados que nosotros, desde fuera del sistema, advertimos sin demasiada dificultad. Esto último nos da una idea de que la verdad es superior a nosotros y a la matemática formal que como humanos podamos construir.

Al leer sobre la Teoría del Caos, entendí que la realidad no es perfecta, y que no todo puede entenderse con la Ley causa-efecto, sino que el azar y lo que no podemos predecir se hacen presentes para formar sistemas flexibles. Entonces, la Ley del Caos permite lo no perfecto, lo no predecible, según comprendo el error también es algo que se puede admitir en nuestro entorno, aun matemáticamente hablando, es encontrar el orden en el desorden. Por ejemplo, en la geometría moderna surgen figuras raras y bellas llamadas fractales como resultado de modelos recursivos que generan comportamientos impredecibles, que dentro de este desorden, guardan cierto orden.

Los datos que nos pueden dar las estaciones meteorológicas, de acuerdo con Lorenz, tienen errores inevitables. Así que el error está presente sin que podamos hacer nada, aunque se haya tratado de meter a un sistema matemático exacto a ciertos fenómenos de la naturaleza, como ocurre con el clima.

El efecto mariposa que menciona Lorenz, explica que un pequeño cambio en la entrada de datos a un sistema puede amplificar los errores que pueden aparecer en el sistema después de aplicar alguna operación. Las variables cambian de forma errática haciendo imposible que podamos dar alguna predicción cierta a largo plazo.

Heisenberg y su principio de incertidumbre, me afirman que el error es inminente aunque busquemos tener sistemas exactos. Cuando él trata de determinar la posición de una partícula con gran certeza, menos se conoce su cantidad de movimiento lineal y su velocidad. Está fuera de nuestras manos conocer la posición de una partícula, y así, otros muchos fenómenos que no podemos encapsular en nuestro limitado mundo matemático, porque estos fenómenos no se comportan como esperamos que lo hagan, lo que ocasiona errores en nuestros cálculos, los cuales pueden ser grandes o pequeños.

El determinismo y el demonio de Laplace, es una teoría que pareciera resolver todos los problemas matemáticos que pudiese haber por la influencia de los errores. Según esto, un demonio podría saber en dónde se encuentran todas las  partículas del universo y así predecir cualquier movimiento de cualquier ser humano y en general de todo lo existente en miles de años. Pero esto no es más que una pensamiento porque como vimos en la Teoría del Caos, los errores existen y no es posible evitarlos, lo que nos aleja de la realidad.

Finalmente, quisiera añadir que quizás lo que nosotros consideramos error es aquello que no conocemos, aquello que no hemos sido capaces de controlar debido a que somos humanos ilimitados de muchas cosas, entre ellas de conocimientos físicos y matemáticos que son pequeños comparados con los conocimientos que tiene aquel que creó el mundo que estamos estudiando y tratando de comprender. Probablemente en algún momento nos sea revelada la verdad que va más allá de la ciencia y también, probablemente cuando la sepamos, ésta ya no sea tan importante como lo es ahora.

– Referencia:

http://www.juevesfilosofico.com/el-demonio-de-laplace-el-determinismo-y-el-libre-albedrio/#sthash.yDSN2xoK.dpuf

http://www.nucleares.unam.mx/~vieyra/node20.html

http://influenciaderrores.wordpress.com/2013/03/25/edward-n-lorenz-atractores-extranos-y-la-teoria-del-caos/

http://influenciaderrores.wordpress.com/2013/03/25/el-problema-no-2-de-hilbert-y-el-teorema-de-incompletitud-de-godel/

 

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